Root-Funktion
Erklären wir zunächst, was die Root-Funktion eigentlich ist und wie sie grafisch aussieht.
n-teQuadratwurzelfunktion ist eine Funktion, bei der n eine natürliche Zahl und größer als 1 (d. h.) ist.
- Der Definitionsbereich jeder Quadratwurzelfunktion ist .
- Der Wertebereich der Quadratwurzelfunktion beträgt.
Jede Quadratwurzelfunktion hat - unabhängig von n – zwei konstante Werte:
- nte Wurzel von 0 ist immer 0: .
- nte Wurzel von 1 ist immer 1: .
Zur Erinnerung: Der Definitionsbereich sagt Ihnen, welche Werte Sie für x verwenden können.
Der Wertebereich sagt Ihnen, welche Werte sich für die verwendeten x-Werte ergeben, also welche y-Werte die Funktion annimmt.
Eine Wurzelfunktion ist also eine Funktion, die nur für positive Werte von x definiert ist. Sie können auch 0 verwenden.
Sie können die hier gezeigte Funktion sehen. Sie wird auch Quadratwurzelfunktion genannt.
Abbildung 1: Die Quadratwurzelfunktion
Die Quadratwurzelfunktion hat eine weitere wichtige Eigenschaft: Sie ist die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion.
Die Quadratwurzelfunktion ist dieUmkehrfunktion einer Potenzfunktion.
Es gilt also die folgende Regel: .
Das bedeutet, dass Sie mit der Quadratwurzelfunktion herausfinden können, welche Zahl hoch n ein bestimmtes Ergebnis liefert.
Die folgende Abbildung zeigt mehrere Potenzfunktionen und ihre zugehörigen Quadratwurzelfunktionen.
Abbildung 2: verschiedene Quadratwurzel- und Potenzfunktionen
Wurzelfunktionen können mit einem Quadratwurzelsymbol dargestellt werden, sie können aber auch in eine Potenzfunktion umgewandelt werden.
Generell gilt:
Es gilt:
Die Quadratwurzelfunktion ist identisch mit der Potenzfunktion. Für den Exponenten gilt die Regel, dass er immer im Bereich von 0 bis 1 liegt.
Es gibt also zwei verschiedene Möglichkeiten, Wurzelfunktionen zu schreiben: entweder mit einer Quadratwurzel oder mit einem Exponenten, der einen Bruch enthält.
Ein Beispiel wäre die folgende Funktion:
Hier ziehen Sie die Funktion von der Quadratwurzel in die Klammer und stellen den Exponenten wie in der Definition dar.
Um das noch einmal zu erklären, hier ist eine Beispiel:
Problem
Was ist die Umkehrfunktion der folgenden Potenzfunktion?
Lösung
Die Umkehrfunktion ist hier.
Grundkenntnisse: Ableitung
Ableitung (auch Differentiation genannt) ist ein wichtiger Teil der Analyse und für Diskussionskurven unerlässlich.
Mithilfe der Infinitesimalrechnung können Sie das Verhalten der Steigung einer Funktion oder eines Diagramms aufzeichnen und auf diese Weise charakterisieren.
Ein wichtiger Teil der Infinitesimalrechnung ist der Differentialquotient, der jetzt genauer definiert wird.
Mit demDifferentialquotiententh können Sie die Ableitung einer Funktion ableiten, da diese als Steigung der Tangente bei x (der aktuellen Änderungsrate) interpretiert werden kann.
Das heißt, es gibt die lokale Änderungsrate der Funktion an einem bestimmten Punkt an.
Der Differentialquotientist die Grenze des Differenzenquotienten.
Hier wird die Steigung der Tangente gezeigt, die die Kurve an diesem Punkt berührt.
| Ableitung einer konstanten Funktion |
| Ableitung einer linearen Funktion Funktion |
| Potenzregel |
| Verhältnisregel |
| Summenregel |
| Differenzregel |
| Produktregel |
| Proportionsregel |
| Kette Regel |
Welche Im nächsten Abschnitt sehen Sie die Ableitungsregel, die Sie für die Root-Funktion verwenden.
Ableitung der Root-Funktion
Jetzt erfahren Sie, wie Sie die Root-Funktion ableiten.
Es gibt verschiedene Regeln, die Sie befolgen müssen.
Aber zuerst lernen Sie, wie man eine der Radikale ableitet.
Eine Wurzelfunktion ableiten
Beim Ableiten einer Funktion können Sie sich eine einfache Regel merken:
Warum ist das so?
Um Ihnen den Weg zu erleichtern, können Sie dieWurzelfunktion zunächst als Potenz ausdrücken Funktion:
Jetzt können Sie die Funktion ableiten, wie Sie es von anderen Potenzfunktionen kennen:
Jetzt können Sie diese Funktion wieder in eine Quadratwurzelfunktion umwandeln:
Abbildung 3: Ableitung der Quadratwurzelfunktion
Wenn die Quadratwurzel mehr als x enthält, müssen Sie die Kettenregel verwenden.
Dies wird in den nächsten Kapiteln besprochen.
Ableiten der 2x-Wurzel
Die Quadratwurzelfunktion hat jetzt mehr als ein x in der Wurzel, daher müssen Sie jetzt die Kettenregel verwenden.
1. Schritt:
Ihr erster Schritt besteht darin, die interne und externe Funktion zu verstehen.Die Funktion unterhalb der Wurzel stellt die interne Funktion dar.
Die Quadratwurzel stellt die externe Funktion dar.
2. Schritt
Jetzt erstellen Sie die Ableitung beider Funktionen.
3. Schritt
Hier steckt man es in die String-Funktion und erhält so die Ableitung der Quadratwurzelfunktion:
Abbildung 4: Ableitung der Quadratwurzelfunktion
Ableitung der n-ten Wurzel
Was aber, wenn es keine Quadratwurzel ist?
Für die Ableitung n-ter Wurzelfunktionen gibt es eine allgemeine Regel:
Die Ableitung der Funktion ist .
Warum ist das so?
Sie können jede Wurzelfunktion zunächst als Potenzfunktion darstellen:
N wird zum Nenner des Exponenten. Jetzt können Sie diese Funktion wie jede andere Potenzierungsfunktion ableiten:
Jetzt können Sie sie wieder in ein Radikal umwandeln:
Damit können Sie beispielsweise höhere Radikale wie das dritte Radikal ableiten.
Zur Verdeutlichung hier ein Beispiel.
Aufgabe
Berechnen Sie die Ableitung eines weiteren dritten Radikals Funktion:
Lösung
1.
Schritt
Konvertieren Sie die Quadratwurzelfunktion in eine Exponentenfunktion.
Hier ziehen Sie die Funktion von der Quadratwurzel in die Klammer, und die n-te Wurzel, in diesem Fall drei, stellt den Nenner des Exponenten dar.
2. Schritt
Bestimmen Sie die äußere und innere Funktion.
3.
Schritt
Ableitung externer und interner Funktionen.
4. Schritt
und in die Kettenregel einfügen.Abbildung 5: Ableitung der Quadratwurzelfunktion
Regeln zur Ableitung der Quadratwurzelfunktion
Um die Quadratwurzelfunktion abzuleiten, benötigen Sie hauptsächlich die Kettenregel:
Für zwei Funktionen wird sie als Verkettungsfunktion der Funktionen g und h bezeichnet.
Der Zickzack ist natürlich kein Symbol für ein Skalarprodukt, sondern ein Symbol für die Kombination von Funktionen.
- Die Funktion g wird auch alsexterne Funktion bezeichnet.
- Die Funktion h wird auch alsinterne Funktion bezeichnet.
Weitere Regeln zur Ableitung von Wurzelfunktionen finden Sie in der folgenden Tabelle:
| Regel | Funktion | Ableitung |
| Produktregel | ||
| Summenregel | ||
| Differenz Regel | ||
| Regelquotient | ||
| Koeffizientenregel | ||
| Potenzregel |
Jetzt lernen Sie die partielle Ableitung einer Wurzelfunktion.
Aber was ist überhaupt eine partielle Ableitung?
partielle Ableitungwird für Funktionen mit mehreren Variablen verwendet. Dabei bedeutet die partielle Ableitung nach x die Ableitung, wenn y konstant bleibt. Wenn Sie po ableiten möchten, halten Sie es konstant.
Um dies besser zu verstehen, hier ein Beispiel.
Problem
Berechnen Sie die partielle Ableitung der folgenden Wurzelfunktion nach x.
Lösung
1. Schritt
Schreiben Sie die Quadratwurzel in eine Potenzfunktion um.
2. Schritt
Teilweise Ableitung in Bezug auf x.
Die Quadratwurzel stellt eine Konstante dar und wird hier vollständig weggelassen.
Ableiten der Quadratwurzel – Aufgaben
Um Ihnen die Anwendung Ihres neu erworbenen Wissens zu erleichtern, finden Sie hier einige praktische Übungen.
Aufgabe 1
Erstellen Sie die erste Ableitung der folgenden Wurzelfunktion:
Lösung
Anwendung der Kettenregel:
Setzen Sie in die Formel ein:
Aufgabe 2
Erstellen Sie die erste Ableitung der folgenden Wurzelfunktion.
Lösung
Anwendung der Kettenregel:
Setzen Sie in die Formel ein:
Übung 3
Erstellen Sie die Ableitung der folgenden Wurzel Funktion.
Lösung
Anwendung der Regel Kette:
In die Formel einfügen:
Die Wurzel der Ableitung - das Wichtigste
- Die wichtigste Regel zum Ableiten von Wurzeln ist die Kettenregel: .
- Um eine Wurzel abzuleiten, wird sie normalerweise in eine Potenzfunktion geschrieben: .
- Wenn die Wurzel nur das Argument x enthält, lautet die Ableitung wie folgt: .
- Die Ableitung der n-ten Wurzelfunktion lautet wie folgt: .
- Der Definitionsbereich der Wurzelfunktion ist , der Wertebereich ist .
- Mithilfe der Analysis können Sie das Verhalten der Steigung von f oder des Graphen aufschreiben und auf diese Weise charakterisieren.
- Die Exponenten einer Wurzelfunktion reichen von 0 bis 1.