Regeln zur Berechnung von Brüchen
Die Regeln zur Berechnung von Brüchen werden immer dann angewendet, wenn es sich um nicht ganze Zahlen handelt.
Dies ist die Menge der rationalen Zahlen. Es ist die Menge aller positiven oder negativen Zahlen, die als Quotient (Bruch) ausgedrückt werden können, wobei sowohl der Zähler als auch der Nenner ganze Zahlen enthalten. Brüche können in Dezimalzahlen umgewandelt werden, die endlich viele Dezimalstellen oder unendlich viele periodische Dezimalstellen haben können.
Bei der Berechnung von Brüchen gelten die Rechenregeln für Grundrechenarten, wobei besonders zwischen Brüchen mit gleichem Namen und Brüchen mit unterschiedlichen Namen unterschieden werden muss.
Rangfolge der Grundrechenarten bei der Bruchrechnung
Die Reihenfolge der Anwendung der Rechenregeln ist wie immer:
Brüche erweitern
Der Wert eines Bruchs bleibt unverändert, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden. Dies wird als „Erweitern“ des Bruchs bezeichnet.
Dies liegt daran, dass der Wert dieses expandierenden Bruchs tatsächlich 1 ist, es sich also um ein neutrales Multiplikationselement handelt.
\(\dfrac{Z}{N} = \dfrac{Z}{N} \cdot \dfrac{c}{c} = \dfrac{{Z \cdot c}}{{N \cdot c}}\)
Expandierende Brüche werden verwendet, wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Namen mit den gleichen vergleichen, die Sie möchten.
Geben Sie die ein Nenner
Beispiel:
Addiere verschiedene Brüche \(\dfrac{1}{2}\) und \(\dfrac{3}{4}\)
Methode 1: Du erweiterst jeden Bruch um den Nenner des zweiten Bruchs, was zu unnötig hohen Zahlen führen kann.
\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{1 \cdot 4}}{{2 \cdot 4}} + \dfrac{{3 \cdot 2}}{{4 \cdot 2}} = \dfrac{4}{8} + \dfrac{6}{8} = \dfrac{{10}}{8}\)
Methode 2: Sie richten Brüche aus, indem Sie sie zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen erweitern Nenner.
\(\begin{array}{l} kgV(2;4) = 4\\ \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{1 \cdot 2}}{{2 \cdot 2}} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4} \end{array}\)
Sie müssen den ersten Bruch um 2 erweitern, sodass der Nenner kgV ist.
Der zweite Bruch hat bereits kgV im Nenner, sodass Sie ihn nicht mehr erweitern müssen.
Brüche reduzieren
Der Wert des Bruchs bleibt unverändert, wenn Sie Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren.
Das nennt man „einen Bruch reduzieren“
Beispiel:
Kürze \(\dfrac{{10}}{8}\)
Wir suchen nach der größten Zahl, die Zähler und Nenner ohne Rest teilt
\(\begin{array}{l} gcd(8;10) = 2\\ \dfrac{{10}}{8} = \dfrac{{10:2}}{{8:2}} = \dfrac{5}{4} \end{array}\)
Hinweis: Wenn es keine GCD von Zähler und Nenner gibt, können Sie den Bruch nicht reduzieren, aber Sie können ihn „dividieren“ und erhalten eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle.
Bruch einer Größe
Sie berechnen diesen Bruch der Gesamtwert durch Eingabe des Gesamtwerts als Multiplikator in den Zähler
\(\dfrac{Z}{N}{\text{ von }}x = \dfrac{{Z \cdot x}}{N}\)
Beispiel:
Berechnen Sie \(\dfrac{2}{3}{\text{ von }}€ }}\)
\(\dfrac{2}{3}{\text{z 12€ }} = \dfrac{{2}{3} \cdot 12\mbox{€} = \dfrac{{2 \cdot 12\mbox{€} }}{3} = \dfrac{{24\mbox{€} }}{3} = 8\mbox{€}\)
Addieren oder Subtrahieren Brüche mit demselben Namen
Brüche mit demselben Namen haben denselben Nenner.
Sie schreiben die Zähler auf die Bruchlinie, dann werden die Zähler addiert/subtrahiert.
\(\dfrac{a}{N} \pm \dfrac{b}{N} = \dfrac{{a \pm b}}{N}\)
Beispiel:
\(\dfrac{4}{{12}} + \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{{4 + 6}}{{12}} = \dfrac{{10}}{{12}}\)
Addieren oder Subtrahieren Brüche mit demselben Namen
Brüche mit demselben Namen müssen auf den gleichen Nenner reduziert werden, bevor ihre Zähler addiert/subtrahiert werden berechnet
\(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot d}}{{bd}} \pm \dfrac{{c \cdot b}}{{db}} = \dfrac{{ad \pm cb}}{{bd}}\)
Beispiel:
\(\dfrac{4}{9} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{2}{2} - \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{3} = \dfrac{8}{{18}} - \dfrac{9}{{18}} = \dfrac{{8 - 9}}{{18}} = - \dfrac{1}{{18}}\)
Brüche auf denselben Nenner reduzieren
Brüche mit demselben Nenner werden Brüche mit demselben Namen genannt.
Sie bringen mehrere Brüche auf den gleichen Nenner, d. h. Sie geben ihnen den gleichen Namen und erweitern sie zum (vorzugsweise kleinsten) gemeinsamen Vielfachen der entsprechenden Nenner.
Wenn Sie sich die Primfaktorzerlegung ersparen möchten, können Sie jeden Bruch um das Produkt des Nenners der anderen Brüche erweitern. Der Hauptnenner ist dann das Produkt aller Nenner der Anfangsbrüche.
Der Nachteil dieser Methode, die immer funktioniert, besteht darin, dass der Hauptnenner unnötig groß wird und man den resultierenden Bruch reduzieren kann.
\(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot d}}{{bd}} \pm \dfrac{{c \cdot b}}{{db}} = \dfrac{{ad \pm cb}}{{bd}}\)
Beispiel:
Reduziere zwei Brüche 1/2 und 3/4 auf denselben Nenner
Du reduzierst die Brüche auf denselben Nenner, indem du sie auf das kleinste gemeinsame Vielfache erweiterst.
Wir suchen also nach kgV mit zwei Nennern
\(\begin{array}{l} kgV(2,4) = 4\\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{2} = \dfrac{2}{4}\\ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4} \end{array}\)
Beispiel:
Addiere zwei Brüche 1/2 und 3/4
\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 3}}{4} = \dfrac{5}{4}\)
Addieren oder Subtrahieren gemischter Zahlen
Bei gemischten Brüchen werden die ganzen Zahlen und Brüche separat addiert oder subtrahiert
\(A\dfrac{b}{c} \pm D\dfrac{e}{f} = \left( {A + \dfrac{b}{c}} \right) \pm \left( {D + \dfrac{e}{f}} \right) = \left( {A \pm D} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} \pm \dfrac{e}{f}} \right)\)
Hinweis:
\(A + \dfrac{b}{c} = A\dfrac{b}{c} \ne A \cdot \dfrac{b}{c}\)
Beispiel:
\(\begin{array}{l} 2\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{3} = \left( {2 + \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {3 + \dfrac{1}{3}} \right) = \\ = \left( {2 + 3} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} \right) = 5 + \left( {\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}} \right) = \\ = 5 + \dfrac{5}{5} = 5\dfrac{5}{6} \end{array}\)
Eine ganze Zahl mit a multiplizieren Bruch
Beim Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einem Bruch kann die ganze Zahl direkt als Multiplikationsfaktor in den Zähler geschrieben werden.
Sie können ein beliebiges negatives Vorzeichen vor dem Bruch stehen lassen oder es zusammen mit dem Faktor in den Zähler schreiben,
Beispiel:
negative und positive Zahl
\(- 2 \cdot \dfrac{3}{7} = - \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{7} = - \dfrac{6}{7}\)
Beispiel:
zwei negative Zahlen
\(- 2 \cdot \left( { - \dfrac{3}{7}} \right) = \dfrac{{ - 2}}{1} \cdot \dfrac{{ - 3}}{7} = \dfrac{{2 \cdot 3}}{7} = \dfrac{6}{7}\)
Multiplikationsbrüche
Brüche sind multipliziert durch Berechnen von (Zähler * Zähler) und (Nenner * Nenner).
\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot c}}{{b\cdot d}}\)
\(\dfrac{a}{b} \cdot c = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{1} = \dfrac{{a \cdot c}}{b}\)
Beispiel:
\(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{{2 \cdot 4}}{{3 \cdot 5}} = \dfrac{8}
\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)
Die Division eines Bruchs durch einen anderen Bruch kann auch als Doppelbruch ausgedrückt werden.
Ein Doppelbruch wird durch „äußerer Term mal äußerer Term“ dividiert durch „innerer Term mal innerer Term“ ausgedrückt Der Nenner des Bruchs ist eine Potenz. Sie können den Bruch auch als Produkt schreiben, indem Sie den Zähler mit dem umgekehrten Nenner multiplizieren.
\(\dfrac{{{a^r}}}{{b^s}}} = {a^r} \cdot {b^{ - s}}\)
\(\dfrac{1}{{{a^{ - s}}}} = {a^s}\)
Beispiel:
Teilen Sie 3/4 3/2
\(\dfrac{3}{4}:\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{{3 \cdot 2}}{{4 \cdot 3}} = \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{1}{2}\)
Beispiel
Teile 3/4 mal 3
\(\dfrac{3}{4}:3 = \dfrac{3}{4}:\dfrac{3}{1} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{3 \cdot 1}}{{4 \cdot 3}} = \dfrac{3}{{12}} = \dfrac{1}{4}\)