Der Simplexy-Ableitungsrechner kann jede Funktion und noch viel mehr ableiten. Um beispielsweise die Funktion \(f(x)=x^2\) auszugeben, gehen Sie zur Schaltfläche \(\frac{df}{dx}\) und geben Sie \(x^2\) ein. Dann können Sie auf die Schaltfläche „Lösen“ klicken und erhalten die Ableitung Ihrer Funktion.
Testen Sie den Rechner mit der Berechnungsmethode.
Über die Ableitung von Brüchen haben wir bereits im letzten Artikel über die Quotientenregel gesprochen. Manche Brüche lassen sich jedoch auch auf andere, oft einfachere Weise ableiten. Eine alternative Methode zum Ableiten von Brüchen wird im folgenden Video erläutert.
Einige Brüche können als Potenzfunktion geschrieben werden.
\(\begin{aligned} \frac{1}{x}&=x^{-1}\\ \\ \frac{1}{x^2}&=x^{-2}\\ \\ \frac{1}{x^3}&=x^{-3}\\ \end{aligned}\)
Es ist nur eine neue Art, einen Bruch zu schreiben.
Diese neue Notation kann auf die gleiche Weise verinnerlicht werden wie die Notation:
\(\begin{aligned} x\cdot x=x^2 \end{aligned}\)
Es handelt sich auch nur um eine mathematische Notation, die Berechnungen oft erleichtert.
Das Umschreiben eines Bruchs in eine Potenzfunktion erleichtert die Berechnung der Ableitung.
\(\begin{aligned} \frac{1}{x} \end{aligned}\)
kann als Potenzfunktion mit einem negativen Exponenten geschrieben werden.
Die Groß-\(\textcolor{blue}{n}\)-Potenz hängt vom Groß-\(\textcolor{blue}{n}\)-Nenner ab:
\(\begin{aligned} \frac{1}{x^\textcolor{blue}{1}}&=x^{\textcolor{blue}{-1}}\\ \\ \frac{1}{x^\textcolor{blue}{2}}&=x^{\textcolor{blue}{-2}}\\ \\ \frac{1}{x^\textcolor{blue}{3}}&=x^{\textcolor{blue}{-3}}\\ &...\\ \frac{1}{x^\textcolor{blue}{n}}&=x^{\textcolor{blue}{-n}}\\ \end{aligned}\)
Beim Schreiben eines Bruchs in eine Potenzfunktion kann die Ableitung mithilfe der Potenzregel berechnet werden.
Wenn im Zähler und Nenner unterschiedliche Zahlen vorhanden sind, müssen diese einbezogen werden.
wie folgt
Wenn der Bruch als Potenzfunktion geschrieben wurde, kann die Ableitung mithilfe der Potenzregel berechnet werden.
Berechnen Sie die Ableitung Funktion
\(\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{x} \end{aligned}\)
Zuerst wandeln wir den Bruch in eine Potenzfunktion um:
\(\begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{x}=x^{\textcolor{blue}{-1}}\\ \end{aligned}\)
Jetzt können wir die Potenzierungsregel verwenden.
Dazu verschieben wir den Exponenten \(\textcolor{blue}{-1}\) vorwärts und subtrahieren dann \(\textcolor{red}{1}\).
\(\begin{aligned} f'(x)&=\textcolor{blue}{-1}x^{\textcolor{blue}{-1}-\textcolor{red}{1}}\\ &=-1x^{-2} \end{aligned}\)
Wir können die Ableitung als Bruch schreiben:
\(\begin{aligned} f'(x)=-1x^{-2}=-\frac{1}{x^2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{x^\textcolor{blue}{n}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} f'(x)=\textcolor{blue}{-n}x^{\textcolor{blue}{-n}-\textcolor{red}{1}}=\textcolor{blue}{-}\frac{\textcolor{blue}{n}}{x^{\textcolor{blue}{n}+\textcolor{red}{1}}} \end{aligned}\)
Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion
\(\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{x^2} \end{aligned}\)
Damit wir die Ableitung nicht nach der Quotientenregel berechnen müssen, wandeln wir den Bruch in eine Potenzfunktion um, umschreiben:
\(\begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{x^2}=x^{\textcolor{blue}{-2}}\\\end{aligned}\)
Jetzt können wir die Potenzregel anwenden, dazu verschieben wir den Exponenten \(\textcolor{blue}{-2}\) nach vorne und dann um eins weiter \(\textcolor{red}{1}\).
\(\begin{aligned} f'(x)&=\textcolor{blue}{-2}x^{\textcolor{blue}{-2}-\textcolor{red}{1}}\\ &=-2x^{-3} \end{aligned}\)
Wir können die Ableitung wieder in einen Bruch umwandeln beschrieben:
\(\begin{aligned} f'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3} \end{aligned}\)
Was ist die Ableitungsfunktion
\(\begin{aligned} f(x)=\frac{2}{x^3} \end{aligned}\)
Den Bruch in eine Potenzfunktion umschreiben:
\(\begin{aligned} f(x)&=\frac{\textcolor{green}{2}}{x^\textcolor{blue}{3}}=\textcolor{green}{2}x^{\textcolor{blue}{-3}}\\\end{aligned}\)
Jetzt können wir die Potenzregel anwenden, dazu verschieben wir den Exponenten \(\textcolor{blue}{-3}\) vorwärts und dann um eins \(\textcolor{red}{1}\) from.
\(\begin{aligned} f'(x)&=\textcolor{green}{2}\cdot(\textcolor{blue}{-3})x^{\textcolor{blue}{-3}-\textcolor{red}{1}}\\ &=-6x^{-4} \end{aligned}\)
Wir können schreiben die Ableitung als Bruch:
\(\begin{aligned} f'(x)=-6x^{-4}=-\frac{6}{x^4} \end{aligned}\)
Berechnen Sie die Ableitungsfunktion
\(\begin{aligned} f(x)=\frac{1}{2x^3} \end{aligned}\)
Zuerst schreiben wir den Bruch in eine Exponentenfunktion um:
\(\begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{\textcolor{green}{2}x^\textcolor{blue}{3}}=\frac{1}{\textcolor{green}{2}}x^{\textcolor{blue}{-3}}\\\end{aligned}\)
Jetzt können wir die Potenzregel anwenden, dazu verschieben wir den Exponenten \(\textcolor{blue}{-3}\) nach vorne und ziehen dann \(\textcolor{red}{1}\).
\(\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{\textcolor{green}} \end{aligned}\)
Wir können die Ableitung als einfachen Bruch schreiben:
\(\begin{aligned} f'(x)=-\frac{3}{2}x^{-4}=-\frac{3}{2x^{4}} \end{aligned}\)